Imagine que você só possa se mover para a esquerda ou para a direita em um fio fino. Esse é o mundo do eixo dos números reais. Se quiser pular para cima, o fio não suportará seu peso. Introduzirnúmeros complexosé como adicionar uma nova dimensão ao seu mundo. Cada número complexo da forma $z = a + bi$ já não é apenas um ponto no eixo numérico, mas sim uma coordenada $(a, b)$ no plano ou um vetor emanando da origem. Essa correspondência perfeita entre 'número' e 'forma' é uma das maiores conquistas na história da matemática.
Definição algébrica e correspondência geométrica dos números complexos
No primeiro volume de Matemática Obrigatória Selecionável, aprendemos sobre o sistema dos números complexos. Os números complexos são compostos porparte realeparte imagináriacompostos pela sua forma algébrica padrão $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Para entender visualmente os números complexos, criamos oplano complexo:
- eixo realcorresponde ao eixo $x$, representando a parte real do número complexo.
- eixo imagináriocorresponde ao eixo $y$, representando a parte imaginária do número complexo.
- ponto e número complexocorresponde ao número complexo $z = a + bi$ e ao ponto $Z(a, b)$ em correspondência biunívoca.
- vetor e número complexocorresponde ao número complexo $z = a + bi$ e ao vetor no plano $\vec{OZ}$ em correspondência biunívoca.
O módulo do número complexo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ tem significado geométrico como a distância do ponto $Z$ até a origem no plano complexo. Já $|z_1 - z_2|$ representa a distância entre dois pontos.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$